整数と三角形に関する問題です．問題自体はシンプルですが，糸口がパッと思いつくかどうかで差がつきそうです．
ヒント
問題では，三角形の $3$ 辺と面積に関する情報のみが関わっています．ヘロンの公式を思いつけるかどうかが勝負の分かれ目でしょう． ヘロンの公式をご存知ない方は下の記事を参考にしてください．
解説
三角形の $3$ 辺を $a,b,c$，面積を $S$ とおく．ヘロンの公式より， $$(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)=16S^2$$ が成り立ちます．ここで，偶奇に着目してみましょう．$a,b,c$ の偶奇がどうであれ，左辺の $4$ 項はすべて偶数かすべて奇数のいずれかです．右辺は偶数なので，左辺の $4$ 項はすべて偶数です．左辺の $4$ 項がすべて偶数になるのは次の $2$ パターンのいずれかです． $(i)$ $a,b,c$ がすべて偶数 $(ii)$ $a,b,c$ のうち，ひとつが偶数で残りのふたつが奇数 $(i)$ のとき $a,b,c$ はすべて素数なので，$a=b=c=2$ ですが，このとき，$S=\sqrt{3}$ となり，これは整数でないので不適です． $(ii)$ のとき 一般性を失うことなく，$a=2$， $b,c$ が奇数と仮定してよいです． このとき，$|b-c|\ge 2$ なので， $$(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) \le 0$$ となります (具体的には，最初の $2$ 項は常に非負で，あとの $2$ 項はどちらか一方が非負，もう一方が非正となる)． ゆえにこの場合も不適です．
以上より，問題の条件を満たすような三角形は存在しません．
