ある自然数 $m$ があって，$m^3$ の形に書ける数を立方数と言います．たとえば，$1,8,27,64,125,…$ などは立方数です． さて，$n$ に $1$ から順に代入していくと，$n!+2$ の値は， $$3,4,8,26,122,…$$ となります．したがって，$n=3$ のときに $n!+2$ が立方数になることはすぐにわかります．
では，$n$ が他の値のときはどうでしょうか．ひたすら代入を続けていってもキリがないので，何か工夫が必要です．
ヒント・考え方
整数問題，とくに今回のような与えられた方程式の整数解をすべて見つける問題では，解を絞ることが大切です．方法はいくつかありますが，代表的なものは，不等式を用いる方法と，合同式を用いる方法です．今回は，合同式を用いる方法がうまくいきます． つまり，ある数で割った余りに着目して，方程式を捉えることによって解を絞るのです．
着目すべきは $n!$ です．これは，$n$ が大きくなると急激に大きくなりますが，それだけでなく，とてもたくさんの約数をもちます．つまり，いろんな数で割り切れます．
解答
$m$ を自然数として， $$n!+2=m^3$$ を解くことを考えます．$n=1,2,3$ を調べると， $$(n,m)=(3,2)$$ がひとつの解であることがすぐにわかります． $n \ge 4$ としましょう． このとき，$n!$ は常に偶数なので，$n!+2$ も常に偶数です．したがって，$m^3$ も偶数でなければなりません．つまり，$m$ は偶数です．そこで，自然数 $k$ を用いて，$m=2k$ とおけます．これを代入すると， $$n!+2=8k^3$$ となります．ここで，$n \ge 4$ なので，$n!$ はつねに $8$ の倍数です．よって，左辺は $8$ で割って，$2$ あまる数です．ところが右辺は常に $8$ で割り切れます．これは矛盾です．よって，$n \ge 4$ に解は存在しません．
以上より，$\boxed{n=3}$ が唯一の解です．
