素数とは，$1$ と自分自身以外に約数をもたない整数のことです．
自然数 $n$ をひとつ定めると，$2^n-1，2^n+1$ はともに整数となりますが，このとき，$2^n-1，2^n+1$ がともに素数となるような $n$ をすべて求めるのが今回の問題です．
ヒント
まずは $n$ が小さい自然数のときを考えてみましょう．
$n=1$ のとき
$2^1-1=1，2^1+1=3$ となりますが，$1$ は素数ではないのでこれは不適です．
$n=2$ のとき
$2^2-1=3，2^2+1=5$ となり，どちらも素数なので，これは問題の条件を満たします．
$n=3$ のとき
$2^3-1=7，2^3+1=9$ となりますが，$9$ は素数ではないのでこれは不適です．
さて，一般の $n$ のときはどうなるでしょうか．
以下，$2$ 通りの考え方を解説します．
連続する整数の性質を用いる方法
$2^n-1，2^n，2^n+1$ は連続する $3$ つの整数です．
そして，連続する $3$ つの整数のうち，どれか一つは必ず $3$ の倍数になります．
ところが，どの $n$ についても $2^n$ が $3$ の倍数になることはありません． したがって，$2^n-1$ もしくは $2^n+1$ の少なくともどちらかは必ず $3$ の倍数になります．
このことから，$n \ge 3$ のときは，問題の条件を満たさないことがわかります．
合同式を用いる方法
$mod 3$ で考えてみましょう．
\begin{equation} 2^n-1 \equiv (-1)^n-1 \equiv \left\{ \begin{array}{l} 0 (n\text{が偶数})\\ 1 (n\text{が奇数}) \end{array} \right. \end{equation} また， \begin{equation} 2^n+1 \equiv (-1)^n+1 \equiv \left\{ \begin{array}{l} 2 (n\text{が偶数})\\ 0 (n\text{が奇数}) \end{array} \right. \end{equation} これらより，$n$ がどのような整数であろうとも，$2^n-1，2^n+1$ のどちらかは必ず $3$ の倍数になります．したがって， $n \ge 3$ のときは，問題の条件を満たさないことがわかります．
答え
$n=2$ のときに限ります．
