柔軟な発想が求められる問題です．何から手をつけていいのかわからないかもしれませんが，まずはいろいろ実験してみましょう．
与えられた問題より簡単そうな問題を考えたり，極端な例を考えてみることは重要です．
単純化してみる
与えられた問題が難しいくて手がつけられない場合は，より簡単な問題を考えてみましょう．例えば，この問題では$2000$という数字を小さくしてみることが考えられます．
和が$2$となるような正の整数の積の最大値は $$\color{red}{2}=1+1$$ より，$2$です．$3,4,5$のときも同様に考えて， $$\color{red}{3}=1+2=1+1+1$$ $$\color{red}{4}=\color{red}{1+4}=\color{red}{2+2}=1+1+2=1+1+1+1$$ $$5=1+4=\color{red}{2+3}=1+1+3=1+2+2=1+1+1+2=1+1+1+1+1$$ より和が$3,4,5$となるような有限個の整数の積の最大値はそれぞれ$3,4,6$であることがわかります．特に$5$の式に注目してください．重要なことがわかるのですが，それは何でしょう．それは， $$5=2+3もし有限個の整数の中に$5$があれば，それを$2$と$3$で置き換えた方が積が大きくなるということを意味しています．この結果は一般化できます．
すなわち，$n$を$5$以上の整数とすると， $$n有限個の整数の中に$5$以上の整数が使われることはない．
ヒント
上の結果を言い換えると，有限個の整数として使われる整数は$1,2,3,4$のいずれかのみということになります．したがって，積の最大値は$2^a3^b$という形になります．
さらにヒント
あとは$2$と$3$がいくつずつあれば積が最大になるかを考えれば良いです． $$2+2+2=3+3, 2 \times 2 \times 2$2$が$3$つあるなら，それを$2$つの$3$で置き換えれば和を変えずに積を大きくできます． よって積の最大値は$2^a3^b$ ($a=0,1,2$)となります．
ところで，$2000=3 \times 666+2$なので，積の最大値は$2・3^{666}$となります．
問題が難しい時はより単純な問題を考えてみるとよいです．
