つぎの形の隣接三項間漸化式を考えましょう． $$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0 (n=1,2,3,…) \cdots (*)$$ ここで，$p,q$ は定数で，$0$ でない数とします．数列 $\{a_n\}$ に対して，$a_1,a_2$ の値と，上の漸化式を与えれば，すべての項がただ一通りに定まります．では，数列 $\{a_n\}$の一般項はどのようにすれば求めることができるでしょうか．
いま，仮にある定数 $\alpha,\beta$ を用いて，上の漸化式 $(*)$ を $$a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n}) \cdots (**)$$ のように変形できたとします．すると，この漸化式を繰り返し用いると， $$a_{n+1}-\alpha a_{n}=\beta(a_{n}-\alpha a_{n-1})=\cdots =\beta^{n-1}(a_{2}-\alpha a_{1})$$ すなわち， $$a_{n+1}-\alpha a_{n}=\beta^{n-1}(a_{2}-\alpha a_{1})$$ を得ます．これは，隣接二項間漸化式なので，そこで学んだ方法で解くことができます．(詳しい解き方の例は次節を参照してください)
さて，では，上式 $(**)$ の $\alpha,\beta$ はどのようにして求めることができるでしょうか．ここで，$(**)$ を変形すると， $$a_{n+2}-(\alpha+\beta)a_{n+1}+\alpha\beta a_{n}=0$$ となります．これと $(*)$ 式の係数を比較すると， $$\alpha+\beta=-p,\alpha\beta=q$$ が導かれます．つまり，$\alpha,\beta$ は，$2$ 次方程式 $$t^2+pt+q=0$$ の解です．したがって，漸化式 $(*)$ に対して，この $2$ 次方程式を解き，その解を用いることで，隣接二項間漸化式を解く問題に帰着することができるのです．
漸化式 $a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0$ に対して，$2$ 次方程式 $t^2+pt+q=0$ のことを特性方程式といいます．
隣接三項間漸化式の解き方: 数列 $\{a_n\}$ は，$a_1,a_2$ と漸化式 $a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0 (n=1,2,…)$ で定められるとする． $step1.$ 特性方程式 $t^2+pt+q=0$ の解 $\alpha,\beta$ を求める． $step2.$ 漸化式を $a_{n+2}-\alpha a_{n+1}=\beta(a_{n+1}-\alpha a_{n})$ の形に変形する. $step3.$ この漸化式を繰り返し用いて，$a_{n+1}-\alpha a_{n}=\beta^{n-1}(a_{2}-\alpha a_{1})$ を得る．
$step4.$ この隣接二項間漸化式を解く．
具体的な例を通して，解き方を見てみましょう．細かい部分で解き方に多少の違いがでますので，自分のやりやすい方法をひとつ見つけるのが良いと思います．
特性方程式が重解をもつとき
この場合は，比較的簡単です．
例 $a_1=1,\ a_2=2,\ a_{n+2}+6a_{n+1}+9a_{n}=0\ \ (n \ge 1)$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
特性方程式 $t^2+6t+9=0$ を解くと，$t=-3$．したがって，漸化式は， $$a_{n+2}+3a_{n+1}=-3(a_{n+1}+3a_{n})$$ と変形できる．これを繰り返し用いると， $$a_{n+1}+3a_n=-3(a_{n}+3a_{n-1})=\cdots =(-3)^{n-1}(a_2+3a_1)=5\cdot (-3)^{n-1}$$ これは，$a_{n+1}=pa_{n}+q$ に帰着できる漸化式の例 で紹介した方法で解くことができます．
具体的には， 最左辺と最右辺を $(-3)^{n+1}$ で割って， $$\frac{a_{n+1}}{(-3)^{n+1}}-\frac{a_n}{(-3)^n}=\frac{5}{9}$$ ここで，$b_n=\frac{a_n}{(-3)^n}$ とおくと，数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1=\frac{a_1}{-3}=-\frac{1}{3}$，公差 $\frac{5}{9}$ の等差数列です．したがって， $$b_n=-\frac{1}{3}+(n-1)\frac{5}{9}=\frac{5n-8}{9}$$ となり，これに $b_n=\frac{a_n}{(-3)^n}$ を代入すれば， $$a_n=(-3)^n\left(\frac{5n-8}{9}\right)$$ と求めることができます．
このように，特性方程式が重解をもつときは，等差数列を解くことに帰着できます．
特性方程式が重解をもたないとき
解き方が複数考えられるので，ここでは $2$ 通りの方法を紹介します．
例 $a_1=0,\ a_2=1,\ a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_{n}=0\ \ (n \ge 1)$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
考え方1
特性方程式 $t^2-5t+6=0$ を解くと，$t=2,3$．したがって，漸化式は， $$a_{n+2}-2a_{n+1}=3(a_{n+1}-2a_{n})$$ と変形できる．これを繰り返し用いると， $$a_{n+1}-2a_n=3(a_{n}-2a_{n-1})=\cdots =3^{n-1}(a_2-2a_1)=3^{n-1}$$ これは，$a_{n+1}=pa_{n}+q$ に帰着できる漸化式の例 で紹介した方法で解くことができます．
具体的には，最左辺と最右辺を $3^{n+1}$ で割って， $$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}-\frac{2}{3}\frac{a_n}{3^n}=\frac{1}{9}$$ ここで，$b_n=\frac{a_n}{3^n}$ とおくと， $$b_{n+1}-\frac{2}{3}b_n=\frac{1}{9},\ \ b_1=0$$ 変形して， $$b_{n+1}-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\left(b_n-\frac{1}{3}\right)$$ これを繰り返し用いると， $$b_n-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\left(b_{n-1}-\frac{1}{3}\right)=\cdots=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\left(b_1-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$$ つまり， $$b_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$$ これに，$b_n=\frac{a_n}{3^n}$ 代入すると， $$a_n=3^n\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\right)=3^{n-1}-2^{n-1}$$ と求めることができます．
考え方2
特性方程式 $t^2-5t+6=0$ を解くと，$t=2,3$．したがって，漸化式をつぎのように $2$ 通りに変形することができる． $$a_{n+2}-2a_{n+1}=3(a_{n+1}-2a_{n}) \cdots ①$$ $$a_{n+2}-3a_{n+1}=2(a_{n+1}-3a_{n}) \cdots ②$$ ①を繰り返し用いると， $$a_{n+1}-2a_{n}=3(a_n-2a_{n-1})=\cdots =3^{n-1}(a_2-2a_1)=3^{n-1} \cdots ③$$ また，②を繰り返し用いると， $$a_{n+1}-3a_{n}=2(a_n-3a_{n-1})=\cdots =2^{n-1}(a_2-3a_1)=2^{n-1} \cdots ④$$ ③ー④より， $$a_n=3^{n-1}-2^{n-1}$$ と求めることができます．
問 $a_1=1,a_2=2,a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=0 (n=1,2,…)$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
問 $a_1=1,a_2=2,a_{n+2}-4a_{n+1}-5a_{n}=0 (n=1,2,…)$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
$$a_n=\frac{5^n-(-1)^n}{6}$$
問 $a_1=1,a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n} (n=1,2,…)$ によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ．
$$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right)$$
