ガウス記号の基礎事項について解説します．まず，整数部分，小数部分とは次のようなものです．
整数部分: 実数 $x$ に対して，$x$ を超えない最大の整数がただひとつ存在し，それを $[x]$ と書き，$x$ の整数部分と呼ぶ．
小数部分: 実数 $x$ に対して，$x-[x]$ を $x$ の小数部分と呼ぶ．
このときの記号 $[ ]$ をガウス記号と呼びます．つまり，ガウス記号は実数の整数部分を表すための記号です． さて，いかなる実数 $x$ に対しても，$n \le x < n+1$ となる整数 $n$ がただひとつ存在します．わかりにくければ，数直線を思い描いてみてください．数直線を整数点ごとに区切っていきます．すると，数直線は幅 $1$ の区間に分割されます．実数 $x$ はこれらの区間のいずれかに入っています．そこで，$x$ が入っている区間の左端の整数点を $[x]$ と表記するということです．
たとえば， $$[3]=3,\ \ \left[\frac{1}{2}\right]=0,\ \ [-4.3]=-5,\ \ [\pi]=3,\ \ \left[-\sqrt{5}\right]=-3$$ などが成り立ちます．実数 $x$ が負のときは少し注意が必要です．たとえば，$-4.3$ の整数部分は $-4$ ではなく，$-5$ です．また，$-4.3$ の小数部分は $0.3$ ではなく，$0.7$ です．整数部分は，数直線を頭で思い描けば間違えることはないでしょう．小数部分は，$x-[x]$ という定義通り計算すれば間違えません．言葉に惑わされないようにしましょう．
ガウス記号を用いたグラフについて考えてみましょう． $$y=[x]$$ という関数のグラフはどのようになるでしょうか．これはさきほどと同様に数直線で考えてみればわかります．$0 \le x 
ただし，上のグラフについて，黒丸は端点を含み，白丸は端点を含まないことを示しています．$y=[x]$ のグラフはこのような階段状になっています．このグラフの最大の特徴は連続でないということです．高校までの数学で習う多くの関数 (一次関数，二次関数，三角関数，指数関数，無理関数など) はすべて連続な関数です．つまり，値が急に“ジャンプ”するようなことはありません．ところが，$y=[x]$ は $x$ が整数値をとるところで値が“ジャンプ”しています．すなわち，すべての整数点で不連続な関数となっています．
ガウス記号に関して，以下の基本的な事柄が成り立つことは覚えておきましょう．
$x,y$ を実数,$n$ を整数とする．以下が成り立つ． ・$[x]=n$ ⇔ $n \le x < n+1$ ⇔ $x-1 < n \le x$ ・$[x+y] \ge [x]+[y]$
・$[x+n]=[x]+n$
一番目はガウス記号の定義からほとんど明らかです．$n \le x < n+1$ ⇔ $x-1 < n \le x$ は意外とよく使います．$n$ と $x$ のどちらを基準にして不等式ではさむかということだけです ． 二番目の不等式の意味合いは次のようになります．
($2$ つの実数を足してから，小数部分を切り捨てたもの) $\ge$ ($2$ つの実数の小数部分をそれぞれ切り捨ててから足したもの)
このように言葉で理解したほうが覚えやすいかもしれません． 左辺は，ガウス記号の中身の足し算をしたときに，繰り上がる可能性があります．たとえば，$x=2.4, y=3.7$ とすると， $$[x+y]=[6.1]=6, [x]+[y]=2+3=5$$ 繰り上がった場合は左辺の方が大きくなります．
ガウス記号が絡むと問題が急に難しくなったように感じます．
